Python 3 - Lernen und professionell anwenden

Kapitel 30

Rechnen mit NumPy

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#9: Es werden keine Achsen mit Skalierung gezeigt.

#10: Das mediangefilterte Bild wird als Graustufenbild dargestellt.

Dieses Programm verwendet für die Filterung quadratische Bereiche mit 9 Pixeln. Um

auch größere Fehler zu verstecken, kann man eine größere Nachbarschaft, z.B. 25 Pixel

einbeziehen. Übrigens finden Sie im Modul

scipy.signal einen vorgefertigten Median-

filter (

medfilt()).

30.17 Rechnen mit SciPy

Für aufwändige mathematische Berechnungen gibt es das Modul SciPy. Es setzt voraus,

dass bereits

NumPy und einige andere numerische Module installiert sind. Am einfachsten

installieren Sie

SciPy mit Anaconda (https://www.continuum.io/downloads).

Wenn Sie WinPython installiert haben, sind

NumPy und SciPy bereits verfügbar. Das wis-

senschaftliche Rechnen mit

SciPy ist ein großes Thema, das wir hier nur kurz anschneiden

können. In diesem Abschnitt erhalten Sie einen Einblick, wie man

SciPy zur Lösung line-

arer Gleichungssysteme und zur numerischen Integration verwenden kann.

30.17.1 Lineare Gleichungssysteme lösen

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge linearer Gleichungen mit mehreren Unbe-

kannten, die alle gleichzeitig gelten sollen. Beispiel:

Hier trifft Informatik auf Mathematik. Während man in der Mathematik die Indizierung

mit

1 beginnt, startet man in der Informatik mit dem Index 0.

Um das Gleichungssystem zu lösen, bringt man es zuerst in die Standardform.

Die Standardform lässt sich auch durch Vektoren und Matrizen darstellen:

oder allgemein:

Die Elemente von Vektor x sind die Unbekannten x

0

, x

1

. Die Koeffizienten bilden die Matrix

A. Die Zahlen auf den rechten Seiten der Gleichungen sind der Vektor b. Der Punkt-Opera-

tor ist eine Matrizenmultiplikation.

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30.17

Rechnen mit SciPy

Für die Lösung des Gleichungssystems – falls eine Lösung existiert – benötigt man die zu

A inverse Matrix A

-1

. Für die inverse Matrix gilt die Gleichung:

Dabei ist I die Einheitsmatrix mit der gleichen Form wie A, eine Matrix, die auf der Haupt-

diagonalen Einsen und an den anderen Stellen Nullen besitzt. Eine inverse Matrix ist meist

nicht leicht zu berechnen. Aber im Modul

SciPy finden Sie die Funktion inv(), die die

inverse Matrix liefert – sofern sie existiert.

Multipliziert man die allgemeine Matrizengleichung zum linearen Gleichungssystem auf

beiden Seiten mit der Matrix A

-1

, so erhält man folgende Gleichung, die die Lösung des line-

aren Gleichungssystems liefert:

Sie können in der Python-Shell die Rechnung durchführen. Im ersten Schritt werden die

Daten für A und b eingegeben:

Dann berechnen Sie die inverse Matrix und lösen das Gleichungssystem:

Probe:

Das ist also der klassische Lösungsweg über die inverse Koeffizientenmatrix. Es gibt noch

eine effizientere Methode. Die Funktion

solve() liefert direkt die Lösung und arbeitet

obendrein noch besonders schnell:

>>> import numpy as np

>>> from scipy import linalg

>>> A = np.array([[1,1],[1, -4]])

>>> b = np.array([[62],[-18]])

>>> A_inv = linalg.inv(A)

>>> x = np.dot(A_inv, b)

>>> x

array([[ 46.],

[ 16.]])

>>> np.dot(A, x)

array([[ 62.],

[-18.]])

>>> np.linalg.solve(A, b)

array([[ 46.],

[ 16.]])