Finanzmathematik, 6th Edition

AMathematischer Anhang

A.1Arithmetische und geometrische Reihen

A.1.1Arithmetische Reihen

Unter einer arithmetischen Reihe versteht man eine Summe von Zahlen at, für die gilt, dass die Differenz d zwischen je zwei benachbarten Zahlen konstant ist. Die Reihe lässt sich dieser Definition entsprechend in der Form

$S=a+\left(a+d\right)+\left(a+2d\right)+\dots +\left(a+\left(n-1\right)d\right)$

$={\displaystyle \sum _{t=1}^n{a}_t}\text{mit}{a}_t:=a+\left(t-1\right)d\left(A.1\right)$

schreiben. Um die Summe bequem ausrechnen zu können, setzt man zunächst die Definitionsgleichung ein und formt anschließend so um, dass

$\begin{array}{l}S={\displaystyle \sum _{t=1}^n\left(a+\left(t-1\right)d\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{t=1}^{n}a+{\displaystyle \sum _{t=1}^n\left(t-1\right)d}}\\ =a{\displaystyle \sum _{t=1}^{n}1+d}\underset{:=x}{\underbrace{{\displaystyle \sum _{t=1}^n\left(t-1\right)}}}\end{array}$