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Brückenkurs Mathematik, 4th Edition

Book Description

Ein Brückenkurs muss einiges leisten können: Er wiederholt kompakt den Stoff der Mittel- und Oberstufe, da Studienanfänger hier regelmäßig kleinere oder größere Lücken und Unsicherheiten haben, und er greift auf den relevanten weiterführenden Mathematikstoff der Vorlesungen in angemessenem Maße vor. In der Konsequenz hilft er dabei, Studienanfängern den Schock zu ersparen, der viele beim Anwenden der Mathematik als unverzichtbares Werkzeug in einem wirtschafts- oder naturwissenschaftlichen Studium ereilt. Dadurch wird der große Schritt von der Schule ins Studium ein wenig kleiner.

Genau hier setzt dieses Buch an: Es bereitet mit klarem Blick auf das im Studium Notwendige vor, wiederholt und vermittelt aber auch Neues, das (ohne den Leser zu überfordern) auch in einem Brückenkurs gelehrt werden kann. Zahlreiche Beispiele dienen dazu, den Stoff zu veranschaulichen. Durch eine Vielzahl von Übungen im zusätzlich erhältlichen Übungsbuch kann das Gelernte zudem weiter gefestigt werden. Farbig unterlegte Boxen heben das Wichtigste hervor und helfen, die wesentlichen Inhalte zu erfassen.

Für die vorliegende Auflage wurden alle Grafiken überarbeitet und ein neues Kapitel mit einer kleinen Einführung in die Komplexen Zahlen hinzugefügt.

Table of Contents

  1. Cover
  2. Titelseite
  3. Impressum
  4. Widmung
  5. Inhaltsverzeichnis
  6. Vorworte
  7. I Einführung
    1. I.1 Ein paar Beispiele
    2. I.2 Interpretation von Schaubildern
    3. I.3 Mathematische Beschreibung von Abhängigkeiten
    4. I.4 Der Begriff der Funktion
    5. I.5 Einteilung des Zahlenstrahls – Intervalle
  8. II Lineare Funktionen
    1. II.1 Die Streckenlänge im kartesischen Koordinatensystem
    2. II.2 Der Mittelpunkt einer Strecke im kartesischen Koordinatensystem
    3. II.3 Die Hauptform der Geradengleichung
    4. II.4 Die gegenseitige Lage von Geraden
    5. II.5 Über Schnittwinkel und orthogonale Geraden
      1. II.5.1 Eine neue Möglichkeit, die Steigung zu berechnen
      2. II.5.2 Zueinander orthogonale Geraden
      3. II.5.3 Der Schnittwinkel zweier Geraden
  9. III Quadratische Funktionen
    1. III.1 Die Binomischen Formeln
      1. III.1.1 Die 1. Binomische Formel
      2. III.1.2 Die 2. Binomische Formel
      3. III.1.3 Die 3. Binomische Formel
      4. III.1.4 Der Weg zurück – Die Binomischen Formeln im Rückwärtsgang
    2. III.2 Der Umgang mit quadratischen Funktionen
      1. III.2.1 Die Mitternachtsformel (MNF)
      2. III.2.2 Von der Scheitelform zur Normalform und wieder zurück – There and back again
      3. III.2.3 Scheitelermittlung durch „Absenken“
    3. III.3 Die Herleitung der Mitternachtsformel
    4. III.4 Der Umgang mit Parabelscharen – Grundlagen Parameterfunktionen
    5. III.5 Zusammenfassung des Unterkapitels über Parameterfunktionen
  10. IV Grundlagen Potenzfunktionen
    1. IV.1 Potenzfunktionen – Definition und ein paar Eigenschaften
      1. IV.1.1 Parabeln n-ter Ordnung
      2. IV.1.2 Hyperbeln n-ter Ordnung
    2. IV.2 Die Potenzgesetze
      1. IV.2.1 Warum Hochzahlen praktisch sind
      2. IV.2.2 Das „nullte“ Potenzgesetz und noch eine Definition
      3. IV.2.3 Das erste Potenzgesetz
      4. IV.2.4 Das zweite Potenzgesetz
      5. IV.2.5 Das dritte Potenzgesetz
      6. IV.2.6 Das vierte Potenzgesetz
      7. IV.2.7 Das fünfte Potenzgesetz
      8. IV.2.8 Rationale Hochzahlen
      9. IV.2.9 Rechnen ohne Klammern – Vorfahrtsregeln beim Rechnen
    3. IV.3 Rechnen mit Wurzeln – Einfache Wurzelgleichungen
    4. IV.4 Die Logarithmengesetze
  11. V Ganzrationale Funktionen – Eine Einführung
    1. V.1 Definition und Grenzverhalten
    2. V.2 Zur Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen
    3. V.3 Noch mehr Symmetrie – Symmetrie zu beliebigen Achsen und Punkten
    4. V.4 Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen
      1. V.4.1 Warum die Polynomdivision funktioniert
      2. V.4.2 Das Horner-Schema
      3. V.4.3 Nullstellen und Substitution bei ganzrationalen Funktionen
    5. V.5 Das Baukastenprinzip – Zusammengesetzte Funktionen
      1. V.5.1 Addition und Subtraktion von Funktionen
      2. V.5.2 Multiplikation und Division von Funktionen
    6. V.6 Den Überblick behalten – Gebietseinteilungen vornehmen
    7. V.7 Beträge von Zahlen/Funktionen und Betragsgleichungen
      1. V.7.1 Vom Betrag einer Zahl und den dazugehörigen Rechenregeln
      2. V.7.2 Der Betrag einer Funktion oder Ebbe in den Quadranten Nummer III und IV
      3. V.7.3 Die abschnittsweise definierte Funktion in Gleichungen – Jetzt wird’s kritisch!
      4. V.7.4 Betragsgleichungen
  12. VI Die vollständige Induktion und (ihre) Folgen
    1. VI.1 Grundlagen
      1. VI.1.1 Ein paar Spielregeln zu Beginn
      2. VI.1.2 Darstellungsformen von Folgen
      3. VI.1.3 Die Definition der Monotonie
      4. VI.1.4 Der Nachweis der Monotonie
      5. VI.1.5 Beschränktheit
    2. VI.2 Der Grenzwert einer Folge
      1. VI.2.1 Die Definition des Grenzwertes
      2. VI.2.2 Zwei Sätze und ein paar Begriffe
    3. VI.3 Die Grenzwertsätze
      1. VI.3.1 Die 3 Grenzwertsätze
      2. VI.3.2 Ein Beweis zu den Grenzwertsätzen
      3. VI.3.3 Berechnung der Grenzwerte bei rekursiven Folgen
    4. VI.4 Arithmetische und geometrische Folgen
      1. VI.4.1 Arithmetische Folgen I – Ein paar Grundlagen
      2. VI.4.2 Geometrische Folgen I – Ein paar Grundlagen
    5. VI.5 Die vollständige Induktion – Ein mächtiges Beweisverfahren
      1. VI.5.1 Arithmetische Folgen II – Die Summe der Folgenglieder
      2. VI.5.2 Geometrische Folgen II – Die Summe der Folgenglieder
      3. VI.5.3 Vollständige Induktion in Beispielen
    6. VI.6 Ein Test alles Gelernten – Die Fibonacci-Zahlenfolge
      1. VI.6.1 Einführung und historischer Abriss
      2. VI.6.2 Die Fibonacci-Zahlenfolge – Grundlagen
      3. VI.6.3 Die Kaninchen-Aufgabe
      4. VI.6.4 Der Goldene Schnitt
      5. VI.6.5 Die Herleitung der expliziten Formel
  13. VII Einführung in die Differentialrechnung
    1. VII.1 Vom Differenzen- zum Differentialquotienten
    2. VII.2 Die Ableitung einer Potenzfunktion und die Tangentengleichung
      1. VII.2.1 Der Umgang mit Berührpunkten
    3. VII.3 Die Herleitungen der Ableitungsregeln
      1. VII.3.1 Die Summenregel
      2. VII.3.2 Die Faktorregel
      3. VII.3.3 Die Produktregel
      4. VII.3.4 Die Quotientenregel
      5. VII.3.5 Die Kettenregel
    4. VII.4 Wichtige Punkte eines Funktionsgraphen
      1. VII.4.1 Extrempunkte
      2. VII.4.2 Wendepunkte
      3. VII.4.3 Neu und alt – Ableitung trifft Parameter
    5. VII.5 Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Monotonie und die Wertetabelle
      1. VII.5.1 Stetigkeit – Ohne Sprung ans Ziel
      2. VII.5.2 Differenzierbarkeit – Knickfrei durch’s Leben
      3. VII.5.3 Monotonie – Wo geht’s denn hin?
      4. VII.5.4 Die Wertetabelle – Eine oft ignorierte Zeichenhilfe
    6. VII.6 Die Kurvendiskussion – Gesamtübersicht mit Beispiel
  14. VIII Über das Lösen linearer Gleichungssysteme
    1. VIII.1 LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen
      1. VIII.1.1 Das Gleichsetzungsverfahren
      2. VIII.1.2 Das Einsetzungsverfahren
      3. VIII.1.3 Das Additionsverfahren
      4. VIII.1.4 Der Umgang mit Parametern bei einem LGS
    2. VIII.2 LGS mit 3 und mehr Unbekannten
      1. VIII.2.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren
      2. VIII.2.2 Gibt es Lösungen – und wenn ja wie viele?
    3. VIII.3 LGS und Funktionen – Bestimmung ganzrationaler Funktionen
  15. IX Mit Brüchen muss man umgehen können – Gebrochenrationale Funktionen
    1. IX.1 Grundlagen – Umgang mit Bruchgleichungen und Brüchen
    2. IX.2 Definition der gebrochenrationalen Funktionen
    3. IX.3 Ein paar Besonderheiten – Definitionslücken und Asymptoten
    4. IX.4 Ableiten gebrochenrationaler Funktionen
    5. X.1 Grundlagen und Ableitungsregeln
      1. X.1.1 Definition und Beispiele
      2. X.1.2 Vom Einheitskreis zur Funktion
      3. X.1.3 Das Bogenmaß
      4. X.1.4 Andere Winkel
      5. X.1.5 Der Sinussatz
      6. X.1.6 Der Kosinussatz
      7. X.1.7 Weitere Betrachtungen zum Einheitskreis
      8. X.1.8 Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen – Ein wenig Nostalgie bei der Herleitung
    6. X.2 Übersicht über die Eigenschaften der trigonometrischen Grundfunktionen
    7. X.3 Die Modifizierung trigonometrischer Funktionen (Sinus und Kosinus)
  16. XI Wachsen ist schön – Exponentialfunktionen
    1. XI.1 Grundlagen
    2. XI.2 Ableiten von Exponentialfunktionen
    3. XI.3 Wachstum
      1. XI.3.1 Lineares Wachstum
      2. XI.3.2 Exponentielles/Natürliches Wachstum
      3. XI.3.3 Beschränktes Wachstum
      4. XI.3.4 Logistisches Wachstum
    4. XI.4 Die Grenzen erfahren – Grenzwertuntersuchung mit L’Hospital
  17. XII Die Ableitung der Umkehrfunktion
    1. XII.1 Was ist eine Umkehrfunktion? – Grundlagen und Begriffe
    2. XII.2 Ableiten von Umkehrfunktionen
      1. XII.2.1 Implizites Differenzieren
      2. XII.2.2 Ableiten von Umkehrfunktionen mit der Kettenregel
    3. XIII.1 Schritt für Schritt zum Ziel – Ober- und Untersumme
      1. XIII.1.1 Ober- und Untersumme
    4. XIII.2 Was haben Stammfunktionen und Integralfunktionen gemeinsam?
    5. XIII.3 Übersicht zu wichtigen Stammfunktionen
      1. XIII.3.1 Aufleiten mittels der linearen Substitution
      2. XIII.3.2 Etwas Interessantes – Die Produktintegration
      3. XIII.3.3 Ein praktischer Satz – Über das Aufleiten von Brüchen
    6. XIII.4 Flächenberechnung – Worauf man achten sollte
    7. XIII.5 Einmal rundherum – Berechnung von Rotationsvolumen
  18. XIV Beweise mit Vektoren führen
    1. XIV.1 Der Vektor in der analytischen Geometrie
    2. XIV.2 Linear abhängig und unabhängig
    3. XIV.3 Das Prinzip des geschlossenen Vektorzugs
      1. XIV.3.1 Ein Beispiel: Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im Dreieck
    4. XIV.4 Ein erstes Produkt für Vektoren: Das Skalarprodukt
      1. XIV.4.1 Von Vektoren und ihren Beträgen
      2. XIV.4.2 Das Skalarprodukt: Die Definition und ihre Konsequenzen
      3. XIV.4.3 Was man vom Skalarprodukt zum Beweisen benötigt
      4. XIV.4.4 Ein Beispiel: Der Satz des Thales
    5. XIV.5 Eine Aufgabe zur Vertiefung
  19. XV Rechnen im Raum – Analytische Geometrie
    1. XV.1 Noch ein Produkt für Vektoren: Das Kreuzprodukt
    2. XV.2 Eine Runde Teamwork – Das Spatprodukt
    3. XV.3 Geraden und Vektoren
    4. XV.4 Ebenen
      1. XV.4.1 Die Koordinatenform
      2. XV.4.2 Die Normalenform
      3. XV.4.3 Umwandeln von Ebenen
    5. XV.5 Lagebeziehungen
      1. XV.5.1 Gegenseitige Lagen von Geraden
      2. XV.5.2 Gegenseitige Lagen von Ebenen
      3. XV.5.3 Gegenseitige Lagen von Ebene und Gerade
    6. XV.6 Abstände
      1. XV.6.1 Der Abstand zweier Punkte
      2. XV.6.2 Die Hessesche Normalenform – Abstandsbestimmungen bei Ebenen
      3. XV.6.3 Abstände, die uns noch fehlen
    7. XV.7 Ein kurzes Wort über Schnittwinkel
    8. XV.8 Ein kugelrunder Abschluss
  20. XVI Wenn’s nicht direkt geht – Ein wenig Numerik
    1. XVI.1 Für Nullstellen – Das Newton-Verfahren
      1. XVI.1.1 Wann Newton nicht funktioniert
      2. XVI.1.2 Übersicht mit Beispiel
    2. XVI.2 Für Flächen – Die Keplersche Fassregel
      1. XVI.2.1 Sehnentrapeze
      2. XVI.2.2 Tangententrapeze
    3. XVI.3 Wo Kepler aufhört, da fängt Simpson an – Die Simpson-Regel
  21. XVII Wem’s reell nicht genug ist – Komplexe Zahlen
    1. XVII.1 Von natürlich bis reell – Eine kurze Geschichte der Zahlen
    2. XVII.2 Komplexe Zahlen – Definition und Grundlagen
    3. XVII.3 Rechnen mit komplexen Zahlen I
    4. XVII.4 Polarkoordinaten und komplexe Zahlen
    5. XVII.5 Euler und eine der schönsten Gleichungen der Mathematik
    6. XVII.6 Rechnen mit komplexen Zahlen II
    7. XVII.7 Potenzen berechnen und Wurzelziehen bei komplexen Zahlen
    8. XVII.8 Bastelstunde: Additionstheoreme
  22. Anhang
    1. A Die Strahlensätze
      1. A.1 Einführende Betrachtungen
      2. A.2 Der 1. Strahlensatz
      3. A.3 Der 2. Strahlensatz
      4. A.4 „Kurzversion“ des 1. Strahlensatzes
    2. B Ungleich geht die Welt zugrunde – Rechnen mit Ungleichungen
      1. B.1 Ganz elementare Regeln
      2. B.2 Beispiele statt allgemeiner Hudelei
    3. C Das Pascalsche Dreieck
      1. C.1 Worum es geht
      2. C.2 Zum Aufstellen des Dreiecks
      3. C.3 Warum das Schema funktioniert
  23. Weiterführende Literatur
  24. Stichwortverzeichnis
  25. Fußnoten